Comportement d'une fonction 1er et 2 BAC Sciences Expérimentales BIOF

Il s’agit déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition d’une fonction. 

Limites et calculatrice

La notion de limite a mis du temps pour avoir un statut rigoureux en mathématique (deux siècles). C’est pour cela que sa définition n’est pas très « instinctive ».

Derrière la notion de limite se cache des nombres que l’on qualifiait avant « d’infiniment petit » ou « d’infiniment grand ». Une calculatrice ne connaît pas de tels nombres. On peut mettre en défaut une calculatrice sur un calcul de limite lorsque sa capacité d’appréhender un nombre très petit ou très grand est dépassée. 

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Comportement d’une fonction en l’infini

1er cas :
Tout intervalle ouvert contenant ℓ, contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand i.e.

 pour x ∈]A ;+∞[.

2éme cas
intervalle ]M ;+ ∞| contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez grand i.e. pour x ∈]A ;+ ∞ [.

Limites en l’infini des fonctions élémentaires

Comportement d’une fonction en un point où la fonction n’est pas définie

Tout intervalle] M ;+ ∞] contient toutes les valeurs de f (x) pour x assez proche de a i.e |x−a|<α.
On a une asymptote verticale x=a

Remarque : Lorsque la limite en a n’existe pas mais que l’on peut définir une limite de chaque côté de a, on parle de limite à droite et de limite à gauche.

Opérations sur les limites

On peut calculer les limites par somme, produit et quotient sauf dans les 4 cas suivants.
1) : On essaiera de mettre la fonction sous la forme d’un produit.
2) : On essaiera de mettre la fonction sous la forme d’une somme.
3) : simplifiera la fonction dans le cas d’une fonction rationnelle.

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4) :On mettra en facteur le terme prépondérant du numérateur et du dénominateur

Limites en zéro des fonctions élémentaires

Théorème de comparaison
f , g, et h sont trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I contenant a (réel, +∞ ou −∞)

Théorème des gendarmes
f , g, et h sont trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I contenant a (réel, +∞ ou −∞)

Quelques calculs de limites

Étude d’une fonction rationnelle

Soit la fonction f définie sur
a) Déterminer la limite de la fonction f en −1. Interprétation géométrique.
b) Déterminer les limites de la fonction f en +∞ et −∞.
c) Déterminer la fonction dérivée f ′ de la fonction f .
d) Étudier le signe de la dérivée puis dresser le tableau de variation.
e) Que se passe t-il pour la courbe au point x = 0?
f) Déterminer l’équation de la tangente (T) au point x = 2.

Résumé de cours : d'une fonction 1er et 2 BAC