Résumé de cours: Généralités sur les fonctions

Résumé de cours généralités sur les fonctions: ensemble ℝ et intervalles, réunion et intersection d’intervalles , courbe représentative d’une fonction, différentes manières pour définir une fonction, variation - extremum d’une fonction: fonction croissante et fonction décroissante, extremum: le maximum est l’image f(x) la plus grande atteinte et le minimum est l’image f(x) la plus petite atteinte en fin tableau de variation d’une fonction.

I)-- Ensemble ℝ et intervalles

a) Définitions
L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée est appelé l'ensemble des nombres réels. On note ℝ l'ensemble de tous ces nombres. 

Remarques :

• On note ℕ l'ensemble des nombres entiers naturels (positifs).
• On note Z l'ensemble des nombres entiers relatifs (positifs ou négatifs).

Certaines parties de ℝ sont appelées des intervalles; on les note en utilisant des crochets.
a et b sont deux réels tels que a < b. 

Le tableau ci-dessous résume les différents types d’intervalles

Vocabulaire : [a ; b], ]a ; b[,]a ; b] et [a ; b[ sont des intervalles d’extrémités a et b (a < b). Le Centre de l’intervalle est le nombre , et sa longueur est b – a.
Remarques :

• -∞  (moins l’infini) et +∞ (plus l’infini) ne sont pas des nombres, ce sont des symboles. Du côté de -∞ et de +∞, le crochet est toujours ouvert, par convention.
• L’ensemble des réels R se note aussi]-∞ ; +∞[.
• [a ;a] = {a} ]a ;a[ = Ø (ensemble vide)

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Réunion et intersection d’intervalles
L’intersection de deux intervalles est l’ensemble des nombres réels appartenant à la fois aux deux intervalles.

• Le symbole utilisé pour l'intersection de deux intervalles est ⋂.
• L'intersection des intervalles A et B se note A ⋂ B (on lit "A inter B").
• La réunion de deux intervalles est l’ensemble des nombres réels appartenant à l’un ou l’autre de ces intervalles (les éléments de l’intersection appartiennent aussi à la réunion).
• Le symbole utilisé pour la réunion de deux intervalles est ⋃.
• La réunion des intervalles A et B se note A ⋃ B (on lit "A union B").

x ∈ A ⋂ B ⬄ x ∈ A et x ∈  B 

x ∈ A ⋃ B ⬄ x ∈ A ou x Î B 

Examples :

II)-- Fonctions

a) Définition
D est une partie de l’ensemble des réels.
Lorsque, à chaque réel x de D on associe un seul réel y, on définit une fonction sur l’ensemble D
Vocabulaire et notation :

• D est l’ensemble de définition de la fonction f.
• x est la variable.
• L’image d’un réel x de D est notée f(x) (lire « f de x »).
• x est un antécédent de y

Exemple :
f est la fonction définie sur ℝ  par f(x) = x² - 3

• 5 a pour image f(5) = 25 – 3 = 22
• -3 a pour image f(-3) = 9 – 3 = 6

b) Courbe représentative d’une fonction

Dans un repère, la courbe représentative de la fonction f est l’ensemble des points M(x ;y) tels que :

• L’abscisse x décrit l’ensemble de définition D.
• et l’ordonnée y est l’image de x par f.

Autrement dit, x Î D et y = f(x)

c) Différentes manières pour définir une fonction

Exemple 1 : 

Une fonction f définie par un graphique

L'ensemble de définition de f est l'intervalle [-3;9].
Le nombre -3 a pour image 4, donc f(-3) = 4.
Example 2 : 

Une fonction g définie par un tableau

L'ensemble de définition de g est D = {-4;-1;0;2;3}.
Le nombre 0 a une seule image : 1.
g(-1) = 4 et g(3) = 4 donc les antécédents de 4 par g sont -1 et 3.
Example 3 : 

Une fonction h définie par une formule

La fonction h associe à un nombre réel x quelconque, le nombre h(x) = 2x² - 3.
L'ensemble de définition de h est Â
On peut aussi écrire :h : x → 2x² - 3.
Pour calculer l'image de -5, on remplace x par -5 dans l'expression de h(x) :
h(-5) = 2×(-5)² - 3 = 47.

III)-- Variation - Extremum

a) Sens de variation
Fonction croissante
La fonction f est croissante sur l’intervalle I signifie que sur l’intervalle I, si les valeurs de la variable x augmentent, alors les images f(x) augmentent aussi.

Autrement dit, une fonction croissante conserve l’ordre

Fonction décroissante
La fonction f est décroissante sur l’intervalle I signifie que sur l’intervalle I, si les valeurs de la variable x augmentent, alors les images f(x) diminuent.

Autrement dit, une fonction décroissante change l’ordre.

Remarque:
On dira d’une fonction qui prend toujours la même valeur qu’elle est constante.
b) Extremum
Maximum
Sur un ensemble D, le maximum est l’image f(x) la plus grande atteinte.

Graphiquement : le maximum est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe 𝒞.

Minimum
Sur un ensemble D, le minimum est l’image f(x) la plus petite atteinte.

Graphiquement : le minimum est l’ordonnée du point le plus bas de la courbe 𝒞.

c) Tableau de variation
Etudier les variations d’une fonction, c’est indiquer les plus grands intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. On résume ces propriétés dans un tableau de variation.
Example
La fonction f représentée ci-contre est décroissante sur [-3 ;-1], croissante sur [-1 ;2] et décroissante sur [2 ;5].