Résumé de cours : Suites numériques 2Bac Sc. maths et Sc.Exp Internationale

Résumé de cours sur les suites et de fonctions : Suites numériques 2Bac Sc. maths et Sc.Exp Internationale

Soit u une suite réelle.

•  Soit ℓ un réel. La suite u a pour limite ℓ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
•  La suite u a pour limite +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A,+∞[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
•  La suite u a pour limite −∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]−∞,A[ avec A réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Quand la suite u a une limite réelle, on dit que la suite u converge. Dans le cas contraire, on dit que la suite u diverge. 

Théorème des gendarmes. 

Si u, v et w sont trois suites réelles telles que, pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang,et si les suites u et w convergent vers une limite réelle commune ℓ, alors la suite v converge et 
Théorème

 Toute suite réelle croissante et majorée converge. Toute suite réelle décroissante et minorée converge.
Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +∞. Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers −∞. 

Théorème. 

Soient u et v deux suites telles que, pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang,

Suites adjacentes. Soient u et v deux suites réelles. u et v sont deux suites adjacentes si et seulement si l’une des deux croît, l’autre décroît et leur différence tend vers 0. 

Théorème

 Deux suites adjacentes convergent et ont mêmes limites.

Limites de fonctions

Soient f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]A, +∞[ et ℓ un réel.

• On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
• On dit que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ avec A réel contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
• On dit que f(x) tend vers −∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ avec A réel contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.

On a des énoncés analogues et intuitifs pour toutes les autres situations.

Théorème des gendarmes

 Soient I un intervalle de R et a une borne de I (a réel ou infini). Si f, g et h sont trois fonctions définies sur I telles que, pour tout
et si les fonctions f et h ont vers une limite réelle commune ℓ en a, alors la fonction g a une limite réelle en
Théorème. Soit I un intervalle de R et a une borne de I (a réel ou infini). Soient f et g deux fonctions définies sur I telles que, pour tout rée
Droites parallèles à un axe de coordonnées asymptotes à une courbe

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