Développement et factorisation d'une d’une expression littérale

COMPÉTENCES EXIGIBLES

Développer le produit d’un nombre et une somme ;
Développer le produit d’un nombre et une différence ;
Développer le produit de deux sommes ;
Développer le produit de deux différences
Factoriser une expression ;
Connaitre les identités remarquables

ORIENTATIONS PEDAGOGIQUES

Utilisation de l’expression littérale.
Reconnaissance de la forme d’une expression algébrique : somme, produit. Développement d’une expression de la forme (a + b) (c + d)
Factorisation d’une expression algébrique dans laquelle le facteur est apparent

EXTENSIONS

Les équations
La proprtionnalité
Développement d’expression
Les identités remarquables
Factorisation des expressions de genre

I. Calcule littérale

Définition 1

Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui
désignent des nombres

Example 1

Simplifier les expressions suivantes :

A = 9 x + 4 x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = 9 x - 2 x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = - 6 x - 7 x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = 8 x + 7 x - 5 x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II. Développement

Définition 2

Le développement c’est l’écriture d’un produit en une somme ou en une différence.

Propriété 1

Développement simple
Soient a, b et k des nombres relatifs.
k ( a+b )=ka+kb
k ( a-b )=ka-kb

Example 2

1 Développer puis calculer :

$\begin{aligned} ∙ 2 \times (1 + 5) & = 2 \times 1 + 2 \times 5 \\ = 2 + 10 \\ = 12 \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ 1, 2 \times (10 - 2) & = 1, 2 \times 10 - 1, 2 \times 2 \\ = 12 - 2, 4 \\ = 9, 6 \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ (- 10 + 3) \times (- 4) & = - 4 \times (- 10) + (- 4) \times 3 \\ = 40 + (- 12) \\ = 40 - 12 \\ = 28 \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ (- 8 - 5) \times (- 4) & = - 4 \times (- 8) - (- 4) \times 5 \\ = 32 - (- 20) \\ = 32 + 20 \\ = 52 \end{aligned}$

2 Développer puis réduire les expressions littérales suivantes :

$\begin{aligned} ∙ A & = 2 x \times (x + 1) \\ = 2 x \times x + 2 x \times 1 \\ = 2 x^{2} + 2 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ B & = 2 x \times (2 x^{2} - 5 x + 1) \\ = 2 x \times 2 x^{2} - 2 x \times 5 x + 2 x \times 1 \\ = 4 x^{3} - 10 x^{2} + 2 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ C & = (- 3 x) \times (2 x - 1) + x \times (- 4 x + 2) \\ = (- 3 x) \times 2 x - - 3 x) \times 1 + x \times (- 4 x) + 2 x \\ = - 6 x^{2} + 3 x - 4 x^{2} + 2 x \\ = - 6 x^{2} - 4 x^{2} + 3 x + 2 x \\ = - 10 x^{2} + 5 x \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ D & = - 2 x \times (- 5 x^{2} + 3 x - 1) + 2 x^{2} \times (- 4 x + 2) \\ = + 10 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x - 8 x^{2} + 4 x \\ = + 10 x^{3} - 6 x^{2} - 8 x^{2} + 2 x + 4 x \\ = + 10 x^{3} - 14 x^{2} + 6 x \end{aligned}$

Propriété 2

Double développement
Soient a, b, c et d des nombres relatifs.
(a+b)×(c+d)= a×c+a×d+b×c+b×d
(a+b)×(c−d)= a×c−a×d+ b×c−b×d

Remarque 1

Pour multiplier une somme par une somme (ou par la différence), on multiplie chaque terme de
la première somme par chaque terme de la deuxième somme (ou de la deuxième différence).

Example 3

1 Développer puis calculer :

$\begin{aligned} ∙ (2, 5 + 10) \times (1 + 5) & = 2, 5 \times 1 + 2, 5 \times 5 + 10 \times 1 + 10 \times 5 \\ = 2, 5 + 12, 5 + 10 + 50 \\ = 14, 5 + 60 \\ = 74, 5 \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ (4 - 12) \times (10 + 6) & = 4 \times 10 + 4 \times 6 - 12 \times 10 - 12 \times 6 \\ = 40 + 24 - 120 - 72 \\ = 64 - 192 \\ = - 128 \end{aligned}$

2 Développer puis réduire les expressions littérales suivantes :

$\begin{aligned} ∙ A & = (2 x + 1) \times (3 x + 2) \\ = 2 x \times 3 x + 2 x \times 2 + 1 \times 3 x + 1 \times 2 \\ = 6 x^{2} + 4 x + 3 x + 2 \\ = 6 x^{2} + 7 x + 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ C & = (2 x - 3)^{2} \\ = (2 x - 3) \times (2 x - 3) \\ = 2 x \times 2 x - 2 x \times 3 - 3 \times 2 x - 3 \times (- 3) \\ = 4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9 \\ = 4 x^{2} - 12 x + 9 \end{aligned}$

$\begin{aligned} ∙ B & = (2 x - 1) \times (- 3 x - 2) \\ = 2 x \times (- 3 x) - 2 x \times 2 - 1 \times (- 3 x) - 1 \times (- 2) \\ = - 6 x^{2} - 4 x + 3 x + 2 \\ = - 6 x^{2} - 1 x + 2 \\ = - 6 x^{2} - x + 2 \end{aligned}$

III. Factorisation d’une expression littérale :

Définition 3

Factorisation c’est l’écriture d’une somme ou d’une différence en un produit.

Propriété 3

Soient a, b et k des nombres relatifs.
• k×a+k×b= k×(a+b)
• k×a− k×b= k×(a−b)
k est appelé facteur commun.

Remarque 2

Pour factoriser une expression littérale on cherche d’abord le facteur commun.

Example 4

1 Factoriser puis calculer :

$\begin{aligned} ∙ A & = 7 \times 2 + 7 \times 10 \\ = 7 \times (2 + 10) \\ = 7 \times 12 \\ = 84 \end{aligned}$

7 est le facteur commun

$\begin{aligned} ∙ B & = (- 5) \times 20 - (- 5) \times 33 \\ = (- 5) \times (20 - 33) \\ = (- 5) \times (- 13) \\ = + 65 \end{aligned}$

(-5) est le facteur commun

2 Factoriser les expressions littéral suivantes :

$\begin{aligned} ∙ C & = 30 x - 55 \\ = 5 \times 6 x - 5 \times 11 \\ = 5 \times (6 x - 11) \end{aligned}$

5 est le facteur commun

$\begin{aligned} ∙ D & = 2 x^{2} + 8 x \\ = 2 x \times x + 2 x \times 8 \\ = 2 x \times (x + 8) \end{aligned}$

2x est le facteur commun

IV. Identités remarquables :

Propriété 4

a et b deux nombres relatifs.
• $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
• $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
• $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Example 5

• $\begin{aligned} ∙ A & = (3 x + 2)^{2} \\ = (3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2} \\ = 9 x^{2} + 12 x + 4 \end{aligned}$

• $\begin{aligned} ∙ B & = (4 x - 3)^{2} \\ = (4 x)^{2} - 2 \times 4 x \times 3 + 3^{2} \\ = 16 x^{2} - 24 x + 9 \end{aligned}$

• $\begin{aligned} ∙ C & = (7 x - 6) (7 x + 6) \\ = (7 x)^{2} - 6^{2} \\ = 49 x^{2} - 36 \end{aligned}$

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II. Développement

III. Factorisation d’une expression littérale :

IV. Identités remarquables :

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