Développement et factorisation d'une d’une expression littérale

COMPÉTENCES EXIGIBLES

• Développer le produit d’un nombre et une somme ;
• Développer le produit d’un nombre et une différence ;
• Développer le produit de deux sommes ;
• Développer le produit de deux différences
• Factoriser une expression ;
• Connaitre les identités remarquables

ORIENTATIONS PEDAGOGIQUES

• Utilisation de l’expression littérale.
• Reconnaissance de la forme d’une expression algébrique : somme, produit. Développement d’une expression de la forme (a + b) (c + d)
• Factorisation d’une expression algébrique dans laquelle le facteur est apparent

EXTENSIONS

• Les équations
• La proprtionnalité
• Développement d’expression
• Les identités remarquables
• Factorisation des expressions de genre

I. Calcule littérale

Définition 1

Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui
désignent des nombres

Example 1

Simplifier les expressions suivantes :

\({\rm{A = 9x + 4x =......................... }}\)
\({\rm{B = 9x - 2x =......................... }}\)
\({\rm{C = - 6x - 7x =....................... }}\)
\({\rm{D = 8x + 7x - 5x =.................... }}\)
\({\rm{E = 8xy + 7xy = .......................}}\)
\({\rm{E = 8}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ + 9}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ + 3}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ = .........................}}\)

II. Développement

Définition 2

Le développement c’est l’écriture d’un produit en une somme ou en une différence.

Propriété 1

Développement simple
Soient a, b et k des nombres relatifs.

k ( a+b )=ka+kb

k ( a-b )=ka-kb

Example 2

1 Développer puis calculer :

\(\begin{aligned} \bullet \quad 2 \times(1+5) &=2 \times 1+2 \times 5\\ &=2+10 \\ &=12 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet \quad 1,2 \times(10-2) &=1,2 \times 10-1,2 \times 2\\ &=12-2,4 \\ &=9,6 \\ \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet \quad (-10+3) \times(-4) &=-4 \times(-10)+(-4) \times 3 \\ &=40+(-12) \\ &=40-12 \\ &= 28 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet \quad (-8-5) \times(-4) &=-4 \times(-8)-(-4) \times 5 \\ &=32-(-20) \\ &=32+20 \\ &=52 \end{aligned}\)

2 Développer puis réduire les expressions littérales suivantes :

\(\begin{aligned} \bullet \quad A &=2x \times(x+1)\\ &=2x \times x+2x \times 1\\ &=2x^2 +2x \\ \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet \quad B &=2x \times(2x^2-5x+1)\\ &=2x \times 2x^2-2x \times 5x +2x \times1\\ &=4x^3 -10x^2+2x \\ \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet C &=(-3x) \times(2x-1)+x \times(-4x+2)\\ &=(-3x) \times 2x--3x)\times 1 +x \times (-4x)+2x\\ &=-6x^2+3x -4x^2+2x \\ &=-6x^2-4x^2+3x+2x \\ &=-10x^2+5x \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet D &=-2x \times(-5x^2+3x-1)+2x^2 \times(-4x+2)\\ &=+10x^3-6x^2+2x-8x^2+4x \\ &=+10x^3-6x^2-8x^2+2x+4x \\ &=+10x^3-14x^2+6x \\ \end{aligned}\)

Propriété 2

Double développement

Soient a, b, c et d des nombres relatifs.

(a+b)×(c+d)= a×c+a×d+b×c+b×d

(a+b)×(c−d)= a×c−a×d+ b×c−b×d

Remarque 1

Pour multiplier une somme par une somme (ou par la différence), on multiplie chaque terme de

la première somme par chaque terme de la deuxième somme (ou de la deuxième différence).

Example 3

1 Développer puis calculer :

\(\begin{aligned} \bullet \quad (2,5+10) \times(1+5) &=2,5 \times 1+2,5 \times 5 +10 \times 1+10 \times 5\\ &=2,5+12,5+10+50 \\ &=14,5+60 \\ &=74,5 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet \quad (4-12) \times(10+6) &=4 \times 10 +4 \times 6 -12 \times 10 -12 \times 6\\ &=40+24-120-72 \\ &=64-192 \\ &=-128 \end{aligned}\)

2 Développer puis réduire les expressions littérales suivantes :

\(\begin{aligned} \bullet \quad A &=(2x+1) \times(3x+2)\\ &=2x \times 3x +2x \times 2 +1 \times 3x +1 \times 2\\ &=6x^2+4x+3x+2 \\ &=6x^2+7x +2\\ \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet \quad C &=(2x-3)^2 \\ &=(2x-3) \times(2x-3)\\ &=2x \times 2x -2x \times 3 -3 \times 2x -3 \times (-3)\\ &=4x^2-6x-6x+9 \\ &=4x^2-12x +9\\ \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \bullet \quad B &=(2x-1) \times(-3x-2)\\ &=2x \times (-3x) -2x \times 2 -1 \times (-3x) -1 \times (-2)\\ &=-6x^2-4x+3x+2 \\ &=-6x^2-1x +2\\ &=-6x^2-x +2 \end{aligned}\)

III. Factorisation d’une expression littérale :

Définition 3

Factorisation c’est l’écriture d’une somme ou d’une différence en un produit.

Propriété 3

Soient a, b et k des nombres relatifs.

• k×a+k×b= k×(a+b)

• k×a− k×b= k×(a−b)

k est appelé facteur commun.

Remarque 2

Pour factoriser une expression littérale on cherche d’abord le facteur commun.

Example 4

1 Factoriser puis calculer :

\(\begin{aligned} \bullet \quad A &=7 \times 2+7 \times 10\\ &=7 \times(2+10) \\ &=7\times12\\ &=84 \end{aligned}\)

7 est le facteur commun

\(\begin{aligned} \bullet \quad B &=(-5) \times 20-(-5) \times 33\\ &=(-5) \times(20-33) \\ &=(-5)\times(-13)\\ &=+65  \end{aligned}\)

(-5) est le facteur commun

2 Factoriser les expressions littéral suivantes :

\(\begin{aligned} \bullet \quad C &=30x -55 \\ &=5 \times 6x-5 \times 11 \\ &=5 \times(6x-11)\end{aligned}\)

5 est le facteur commun

\(\begin{aligned} \bullet \quad D &=2x^2 +8x \\ &= 2x\times x+2x \times 8 \\ &=2x \times(x+8) \end{aligned}\)

2x est le facteur commun

IV. Identités remarquables :

Propriété 4

a et b deux nombres relatifs.

•\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)

•\((a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\)

•\((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\)

Example 5

• \(\begin{aligned} \bullet \quad A &=(3x+2)^2\\ &=(3x)^2+2\times3x\times2+2^2\\ &=9x^2 +12x+4 \\ \end{aligned}\)

•\(\begin{aligned} \bullet \quad B &=(4x-3)^2\\ &=(4x)^2-2\times4x\times3+3^2\\ &=16x^2 -24x+9 \\ \end{aligned}\)

•\(\begin{aligned} \bullet \quad C &=(7x-6)(7x+6)\\ &=(7x)^2-6^2\\ &=49x^2 -36 \\ \end{aligned}\)