Il s’agit de prolonger l’étude commencée en classe de deuxième qui, seule, est exigible dans le cadre du socle commun. La réciproque est formulée en tenant compte de l’ordre relatif des points sur chaque droite mais, dans le cadre du socle commun, les élèves n’ont pas à distinguer formellement le théorème direct et sa réciproque. L’utilisation d’un logiciel de construction géométrique permet de créer des situations d’approche ou d’étude du théorème et de sa réciproque.
COMPÉTENCES EXIGIBLES
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine.
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes.
Connaître et utiliser un énoncé réciproque.
PRE-REQUIS
Dans cette fiche, tu vas découvrir la proportionnalité dans les triangles. Il faut donc savoir déterminer un coefficient de proportionnalité ainsi qu'être capable de trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité. Tu seras également amené parfois à résoudre des équations. Il te faudra donc savoir résoudre des équations du type ax + b = 0.
Dire (*) : Puisque les points M et N appartiennent respectivement aux droites (AB) et (AC) sécantes en A, et que (MN) // (BC), alors d'après le théorème de THALES, on peut écrire les rapports égaux suivants :
Bien repartir 4 fois du sommet commun.
Extraire de ce groupe de 3 les 2 rapports nécessaires au calcul que l'on veut faire, et surtout le dire.
Même si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont bien alignés dans cet ordre, puisque les rapports
Ne sont pas égaux, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
(Les rapports ne sont pas égaux : ce n'est pas la réciproque du théorème de Thalès : ne pas la citer !)
Bien respecter la procédure:
Ne pas oublier de parler de l'ordre des points, sinon tout le raisonnement est incorrect, la preuve :
Les rapports peuvent être égaux (c'est le cas ici), ce n'est pas pour autant que les droites sont parallèles !
Les longueurs sont données en cm : AC = 3,3 ; CR = 1,2 ; PC = 1,5 et CB = 4,5
1) Les droites (AB) et (PR) sont-elles parallèles ? (Justifier !)
2) Peut-on modifier une seule longueur pour que (AB) soit parallèle à (PR) ?
Si oui, préciser laquelle et écrire 2 quotients égaux.
Les droites (AM) et (CD) sont parallèles.
On donne MD = 1,2cm, DN = 4,8cm, NB = 3cm, NO = 2cm et NA = 10cm.
Calculer NC.
Les droites (CD) et (OB) sont-elles parallèles ?
On considère un triangle AEU quelconque. Placer un point T quelconque sur [AE], distinct de A et E.
La parallèle à (EU) passant par T coupe [AU] en S. La parallèle à (ES) passant par T coupe [AU] en G.
1) Écrire (justifier !) 2 quotients égaux à
2) En déduire que :
On place le véhicule face à un mur vertical (les droites (AB) et (HM) sont perpendiculaires) :
Le point P représente le phare. La distance entre le sol et le phare est HP (les droites (HP) et (HM) sont perpendiculaires. On considère que le phare émet un rayon lumineux dirigé vers le sol ; en l'absence du mur, ce rayon atteindrait le sol au point M. La distance HM est appelée "portée du feu de croisement".
D'après la consigne de sécurité (code de la route) il faut que la portée du feu de croisement soit :
Pour cette voiture, on a HP = 0,6 m, HA = 3 m et AB = 0,55 m.
Le but de cet exercice est de savoir si, dans cet exemple, elle respecte la consigne de sécurité.
1. Démontrer que (HP) // (AB).
2. On pose HM = x. Démontrer que
3. Calculer x en résolvant cette équation.
4. La voiture respecte-t-elle la consigne de sécurité et pourquoi ?
Paul se trouve sur une plage et se demande s'il serait capable d'atteindre à la nage, la bouée qu'il aperçoit.
Pour répondre à cette question, il faudrait qu'il sache à quelle distance se trouve cette bouée.
Dans ce but, il imagine le dispositif suivant : il plante verticalement un bâton de 1 m de haut, exactement au bord de l'eau, en A, puis il se place bien droit, en arrière de ce bâton à l'endroit P où il peut aligner son œil O, le sommet S du bâton et la bouée B.
L'objectif de cet exercice, comme celui de Paul, est de calculer la distance BA. La situation est représentée par le schéma ci-dessus.
L'unité de longueur est le mm. Dans la figure ci-contre, on a : (GH) // (BC) et (GD) //(AC).
De plus, BD = 48 ; BE = 36 ; ED = 44 ; EF = 63 et AF = 45.
1. Calculer EG et GF, FH et AH, HC et DC (respecter l'ordre des calculs demandés)
2. Faire le dessin à l'échelle. Avec ce dessin, que pensez-vous pouvoir dire des droites (AB) et (DH) ? (En principe, la réponse ne souffre pas de discussion).
3. Par le calcul, vérifiez alors si votre première impression est la bonne.
On donne (FG) // (BH) // (CD) et (AC) // (GD) et AB = 54 ; ED = 28 ; DH = 24 ; EH = 20 et FG = 55.
1. Peut-on reproduire ce dessin avec les seules mesures qui sont données et pourquoi ?
2. Calculer alors le minimum de longueurs pour que l'on puisse construire cette figure. Justifier vos choix
COMPÉTENCES EXIGIBLES
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux demi-droites de même origine.
Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes.
Connaître et utiliser un énoncé réciproque.
PRE-REQUIS
Dans cette fiche, tu vas découvrir la proportionnalité dans les triangles. Il faut donc savoir déterminer un coefficient de proportionnalité ainsi qu'être capable de trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité. Tu seras également amené parfois à résoudre des équations. Il te faudra donc savoir résoudre des équations du type ax + b = 0.
1. Théorème de Thalès direct :
utilisé pour calculer une longueur Au départ :
Un triangle et une parallèle à l'un des côtés A l’arrivée : des rapports égaux
Extraire de ce groupe de 3 les 2 rapports nécessaires au calcul que l'on veut faire, et surtout le dire.
2. la réciproque du théorème de Thalès
Pour savoir si des droites sont parallèles, la procédure à suivre sera la même que la réciproque du théorème de
Thalès s'applique ou pas :
Dire que les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. Dire que vous allez comparer:
(les calculer séparément !)
! Faire remarque que :
Soit :
Soit :
S'il y a égalité des rapports, dire alors (*) :
Thalès s'applique ou pas :
- Au départ : un triangle et des longueurs (4)
- A l’arrivée : des côtés parallèles ou non Méthode (Les rapports à comparer sont exclusivement :
(les calculer séparément !)
! Faire remarque que :
Soit :
Soit :
S'il y a égalité des rapports, dire alors (*) :
Puisque les rapports :
Sont égaux, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Attention : ne pas tirer de conclusion d'égalité avec des valeurs approchées, utiliser des fractions irréductibles
Sont égaux, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Attention : ne pas tirer de conclusion d'égalité avec des valeurs approchées, utiliser des fractions irréductibles
Si les rapports ne sont pas égaux, dire alors (*) :
Même si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont bien alignés dans cet ordre, puisque les rapports
Ne sont pas égaux, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
(Les rapports ne sont pas égaux : ce n'est pas la réciproque du théorème de Thalès : ne pas la citer !)
Bien respecter la procédure:
Ne pas oublier de parler de l'ordre des points, sinon tout le raisonnement est incorrect, la preuve :
II/ La feuille d'exercices avec Corrigés autour des théorèmes de Thalès
Exercice 1 : Noeud papillon
1) Les droites (AB) et (PR) sont-elles parallèles ? (Justifier !)
2) Peut-on modifier une seule longueur pour que (AB) soit parallèle à (PR) ?
Si oui, préciser laquelle et écrire 2 quotients égaux.
Exercice 2 : Trois parallèles.
On donne MD = 1,2cm, DN = 4,8cm, NB = 3cm, NO = 2cm et NA = 10cm.
Calculer NC.
Les droites (CD) et (OB) sont-elles parallèles ?
Exercice 3 : Dans le triangle
La parallèle à (EU) passant par T coupe [AU] en S. La parallèle à (ES) passant par T coupe [AU] en G.
1) Écrire (justifier !) 2 quotients égaux à
2) En déduire que :
Exercice 4 :Portée du feu de croisement
On envisage de régler rapidement et avec précision, les feux de croisement d'une voiture.On place le véhicule face à un mur vertical (les droites (AB) et (HM) sont perpendiculaires) :
Le point P représente le phare. La distance entre le sol et le phare est HP (les droites (HP) et (HM) sont perpendiculaires. On considère que le phare émet un rayon lumineux dirigé vers le sol ; en l'absence du mur, ce rayon atteindrait le sol au point M. La distance HM est appelée "portée du feu de croisement".
D'après la consigne de sécurité (code de la route) il faut que la portée du feu de croisement soit :
- au moins 30 mètres, afin d'éclairer suffisamment loin,
- au plus 45 mètres, pour ne pas éblouir les autres automobilistes.
Pour cette voiture, on a HP = 0,6 m, HA = 3 m et AB = 0,55 m.
Le but de cet exercice est de savoir si, dans cet exemple, elle respecte la consigne de sécurité.
1. Démontrer que (HP) // (AB).
2. On pose HM = x. Démontrer que
3. Calculer x en résolvant cette équation.
4. La voiture respecte-t-elle la consigne de sécurité et pourquoi ?
Exercice 5 : Distance de la bouée
Pour répondre à cette question, il faudrait qu'il sache à quelle distance se trouve cette bouée.
Dans ce but, il imagine le dispositif suivant : il plante verticalement un bâton de 1 m de haut, exactement au bord de l'eau, en A, puis il se place bien droit, en arrière de ce bâton à l'endroit P où il peut aligner son œil O, le sommet S du bâton et la bouée B.
L'objectif de cet exercice, comme celui de Paul, est de calculer la distance BA. La situation est représentée par le schéma ci-dessus.
Exercice 6 : Un dessin aussi précis soit-il, est-il fiable
L'unité de longueur est le mm. Dans la figure ci-contre, on a : (GH) // (BC) et (GD) //(AC).
De plus, BD = 48 ; BE = 36 ; ED = 44 ; EF = 63 et AF = 45.
1. Calculer EG et GF, FH et AH, HC et DC (respecter l'ordre des calculs demandés)
2. Faire le dessin à l'échelle. Avec ce dessin, que pensez-vous pouvoir dire des droites (AB) et (DH) ? (En principe, la réponse ne souffre pas de discussion).
3. Par le calcul, vérifiez alors si votre première impression est la bonne.
Exercice 7 : Calculs minimum
L'unité de longueur est le mm.On donne (FG) // (BH) // (CD) et (AC) // (GD) et AB = 54 ; ED = 28 ; DH = 24 ; EH = 20 et FG = 55.
2. Calculer alors le minimum de longueurs pour que l'on puisse construire cette figure. Justifier vos choix
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