Trigonométrie : sinus et cosinus et tangent d'un angle (exercices - corrigé )

Il ne faut pas confondre sinus d'un angle, cosinus d'un angle et tangente d'un angle avec l’angle. Ils dépendent de l’angle mais ne lui sont pas égaux : la mesure de l’angle s’exprime avec une unité, mais sinus d'un angle, cosinus d'un angle et tangente d'un angle n’ont pas d’unités, ce sont les quotients des longueurs de 2 côtés.

1. Connaître et utiliser dans le triangle rectangle des relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de 2 côtés du triangle.
2. Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées :

•    Du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné.
•    De l’angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus ou la tangente.

Savoir et utiliser la relation :

Utiliser les relations entre sin ; cos et tan de deux angles complémentaires.

ORIENTATIONS PEDAGOGIQUES

La définition du cosinus a été vue en 2ème . Le sinus et la tangente d’un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l’aide du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules :

On n’utilisera pas d’autre unité que le degré décimal.

- Le mot vient du grec "trigone" (triangle) et "metron" (mesure). Dans l‘Encyclopédie (1751), Jean le Rond d‘Alembert (1717 ; 1783) définit 

La trigonométrie comme :« l‘art de trouver les parties inconnues d‘un triangle par le moyen de celles qu‘on connaît ».

C‘est bien la démarche qui est demandée aux élèves du collège

1. Cosinus d’un angle aigu
2. Théorème de Thalès
3. Théorème de Pythagore
4. Ordre et opérations
5. Triangle rectangle
6. La proportionnalité

I/ Trigonométrie dans le triangle rectangle

1. Le calcul d’un angle

Mais et si on ne connaît que 2 des côtés ? Il suffit d’utiliser l’une des 3 méthodes ci-dessus.  Par rapport à l’angle cherché, si l’on connaît

2. Le calcul de la longueur d'un côté.

Recherche de la longueur d'un côté de l’angle droit connaissant  un angle et l’hypoténuse.  On se pose la question : suivante :

« Comment est placé le côté dont je cherche la longueur, par  rapport à l’angle ? »

Réponse :

« C'est le côté opposé ! » On utilise donc le sinus

« C'est le côté adjacent ! » On utilise donc le cosinus

Recherche de la longueur de l'hypoténuse connaissant un angle et un côté de l'angle droit.

On se pose la question :

suivante : « Comment est placé le côté de l'angle droit par rapport à l’angle connu? »

Réponse :
« C'est le côté opposé ! » On utilise donc le sinus

« C'est le côté adjacent ! » On utilise donc le cosinus

Recherche de la longueur d'un côté de l’angle droit connaissant la longueur de l'autre côté  de l’angle droit.et un angle  

Là, pas de question à se poser, il faut utiliser la tangente : en effet, ici, l’hypoténuse  n’intervient pas.

Dans certains cas, on divise un nombre par sin, cos ou tan et d'autres fois on divise ce nombre par sin, cos, tan...

Vous vous trompez régulièrement ? Dans ce cas, cette petite astuce devrait vous aider :

Utilisez ensuite les "produits en croix"

II/ Exercices avec corrigé: sinus et cosinus et tangent d'un angle

1/ Exercice d'application

Exercise 1:

ABC est un triangle rectangle en B tel que :AC=7cm et BC=4cm

Calculer :sin(BAC ) et tan(BAC)

Exercice2 :

EFG est un triangle rectangle en G Tel que: sin EFG= et EF=14

Calculer: GE et GF

Exercice3 :

1) Sachant que :
Calculer :sinx et tanx
2) Sachant que : 
Calculer : cosy et tany

2/ Exercices avec corrigé: sinus et cosinus et tangent d'un angle