La fiche 2: Symétrie axiale de 2éme année collège

La symétrie axiale est un outil puissant pour étudier les figures dans le plan et les transformations géométriques qui conserve les distances. 

La fiche 2  Symétrie axiale de 2éme année collège

La symétrie axiale est considérée comme un acquis qu’il faut utiliser et le renforcer, qui forme avec le parallélogramme un outil efficace dans la résolution des problèmes variantes (les quadrilatères particuliers ……) 

pour habituer les élèves à rédiger de petite démonstration et de justifier des constructions géométriques.
 Il faut se concentrer sur le fait que la symétrie axiale conserve les distances, l’alignement et mesure des angles en utilisant les mesures et l’observation.
Il ne faut pas présenter la symétrie axiale comme une application dans le plan.
COMPÉTENCES EXIGIBLES

1. Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite, d’une demi-droite, d’un cercle.
2. L’étude de la conservation de distance, alignement, mesure des angles et la surface

I- Médiatrice d’un segment :

Définition :

 La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

propriété:
Soit [AB] un segment, (Δ) sa médiatrice et M un point. Si M∈(Δ) Alors: MA=MB.

II- Symétrique d’un point :

Activité 2 :
1)Tracer une droite (Δ) qui passe par le point E et qui est perpendiculaire à la droite (D).
2) Construis le point E′ tel que la droite (D) soit la médiatrice du segment [EE’]

Définition :
Soit (Δ) une droite et M un point du plan.
Le symétrique du point M par rapport à la droite (Δ) est le point M' tel que (Δ) est la médiatrice du segment [MM'].
Example :

 Le symétrique du point M par rapport à la droite (Δ) est M'.

Remarque: Si un point 𝐴∈(Δ), alors ce point est le symétrique de lui-même par rapport à (Δ).

III- Symétrique de figures usuelles :

1) Symétrique d’un segment :

Activité 3 : 

1)- Construire les points A’ et B’ les symétriques de A et B respectivement par rapport à la droite (Δ).

2)- Comparer les deux distances AB et A’B’

Propriété: 2
Soit (Δ) une droite et [AB] un segment.
Si A' et B'sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à la droite (Δ), alors le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (Δ) est le segment [A'B'].
On a : A'B'=AB, on dit que la symétrie axiale conserve les longueurs
Exemple : 

Par rapport à la droite (Δ) on a :

1. A' est le symétrique de A
2. B' est le symétrique de B

Donc le segment [𝐴′𝐵′] est le symétrique du segment [𝐴𝐵].

2) Symétrique d’une droite :

Activité 4 :

1)Construire les points A’, B’, C’ et D’ les symétriques respectifs des points A, B, C et D par rapport à la droite (Δ).
2)Déterminer le symétrique de la droite (AC) par rapport à la droite (Δ).
3)Déterminer le symétrique de la demi-droite [AB) par rapport à la droite (Δ).
4)Déterminer le symétrique du point H par rapport à la droite (Δ).
5)Que remarques-tu à-propos les points A, B et D ?
6)Que remarques-tu à-propos les points A’, B’ et D’ ? Conclure.

Propriété: 3

Soit (Δ) et (AB) deux droites.
Si A' et B' sont les symétriques respectifs des points A 𝑒𝑡 A par rapport à la droite (Δ), alors le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (Δ) est la droite (A'B').
Example :

Par rapport à la droite (Δ) on a : 

1. A' est le symétrique de A
2. B' est le symétrique de B

Donc la droite (A′B′) est le symétrique de la droite (AB).

3) Symétrique d’une demi-droite :

Propriété: 4
Soit (Δ) une droite et [AB) une demi-droite.
Si A' et B' sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à la droite (Δ), alors le symétrique de la demi-droite [AB) par rapport à la droite (Δ) est la demi-droite [A'B').
Exemple :

Par rapport à la droite (Δ) on a : 

1. A' est le symétrique de A
2. B' est le symétrique de B

Donc la demi-droite [A′B′) est le symétrique de la demi-droite [AB).

4) Conservation de l'alignement des points :

Propriété: 5
Les symétriques des points alignés par rapport à une droite sont aussi des points alignés.
On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement des points.

Example : 

Par rapport à la droite (Δ) on a : 

1. A' est le symétrique de A
2. B' est le symétrique de B
3. C' est le symétrique de C

Puisque les points A,B,C sont alignés, alors les points A′,B′,C′ sont alignés.

5) Symétrique d’un angle :

Activité 5 :

1)Construire les points A’, B’ et C’ les symétriques respectifs de A, B et C par rapport à la droite (Δ).
2)Déterminer les symétriques des
demi-droites [AB) et [AC) par rapport à la droite (Δ).
3)Conclure le symétrique de l’angle
𝐵Â𝐶 par rapport à la droite (Δ).
4)Comparer la mesure des angles BÂC et B′Â′C′. Conclure.

Propriété: 6
Soit (Δ) une droite et AOB un angle.

Si A′,O′𝑒𝑡 B′ sont les symétriques respectifs des points A,O 𝑒𝑡 B par rapport à la droite (Δ), alors le symétrique de l’angle 𝐴𝑂𝐵̂ par rapport à la droite (Δ) est l’angle 𝐴′𝑂′𝐵′̂.
On a : l'angle AOB egale l'andle A′O′B′, on dit que la symétrie axiale conserve la mesure d’angles.
Example :

Par rapport à la droite (Δ) on a : 

1. A' est le symétrique de A
2. B' est le symétrique de B
3. O' est le symétrique de O

Donc l’angle A′O′B′ est le symétrique de l’angle AOB.

6) Symétrique d’un cercle :

Activité 6 :

1) Construire les points O’ et M’ les symétriques respectifs de O et M par rapport à la droite (Δ).
2) Tracer le cercle (𝒞′) de centre O’ et qui passe par le point M’.
Propriété: 7
Soit (Δ) une droite et (C) un cercle de centre O et de rayon r.
Si O′ est le symétrique de O par rapport à la droite (Δ), alors le symétrique du cercle (C) par rapport à la droite (Δ) est le cercle (C′) de centre O′ et de rayon r.
Example : 

Par rapport à la droite (Δ) on a : O' est le symétrique de O
Donc le cercle C(O;r) est le symétrique du cercle C′(O′;r).

Evaluation

Exercice 3 : 

ABC un triangle rectangle en A, tel que AB=4𝑐𝑚.
1)Construis le point M le symétrique du point A par rapport à la droite (BC).
2)Calculer la distance BM. Justifier votre réponse

Exercice 4 :

 ABC un triangle et M le milieu du segment [BC].
1)Construis les points E et F les symétriques de B et C respectivement par rapport à la droite (AM).
2)Déterminer le symétrique du segment [BC] par rapport à la droite (AM).
3)Montrer que M est le milieu du segment [EF].

Exercice 5 : 

ABC un triangle.
1)Construis A’ le symétrique de A par rapport à la droite (BC).
2)Quel est le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (BC) ?
Exercice 6 : On considère la droite (D) et M et N deux points n’appartiennent pas à la droite (D).
Les points M’, N’ les symétriques respectifs des points M, N par rapport à la droite (D).
1)Construire la figure convenable.
2)Montrer que : (MM′) \\ (NN′).

Exercice 7 : 

considère la droite (Δ) et A et B deux points n’appartiennent pas à la droite (Δ).
Soit I le milieu du segment [AB].
1)Construis les points A’, B’ et I’ les symétriques respectifs des points A, B et I par rapport à la droite (Δ).
2)Montrer que les points A’, B’ et I’ sont alignés.

Exercice 8 : 

un parallélogramme de centre O.
1)Construire les points B’ et O’ les symétriques respectifs des points B et O par rapport à la droite (DC).
2) Montrer que les points B’, O’ et D sont alignés.

Exercise 9 : 

ABC un triangle tel que : AB=3cm 𝑒𝑡 AC=5cm 𝑒𝑡 angle ABC=60°.
Soit M le milieu du segment [AC].
1)Construire les points E et F les symétriques respectifs des points A et C par rapport à la droite (BM).
2)Calculer EF et BE.
3)Quelle est la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐹̂. Justifier votre réponse.

Exercice 10 : 

ABCD un trapèze tel que : angle ADC=40° et 𝐼 le milieu du segment [CD].
1)Construire la figure convenable.
2)Construire les points D′,C′ et I′ les symétriques respectifs des points D, C et I par rapport à la droite (AB).
3)Montrer que les points D′,C′ et I′ sont alignés.
4)Montrer que : I′ est le milieu du segment [D′C′].
5)Quelle est la mesure de l’angle A'D'C'. Justifier votre réponse.

Exercise 11 :

C(O;𝑟) et C′(O′;r) deux cercles de même rayon et ne sont pas sécante.
Soit (Δ) la médiatrice du segment [OO’].
Soit M un point du cercle (C) tel que la demi-droite [OM) coupe (Δ) en I.
Soit M’ le point d’intersection de la droite (O′I) et du cercle (C′).
1)Construire la figure convenable.
2)Quel est le symétrique du cercle (C) par rapport à la droite (Δ).
3)Montrer que M’ est le symétrique de M par rapport à la droite (Δ).