
Contenu de ce chapitre : Le plan et sont définition, Les figures géométriques usuelles (le point, la droite, la demi-droite, le segment), milieu d’un segment et comment trace se milieu, droites parallèles et commente trace cette droites parallèles, Droites perpendiculaires et commente trace cette droite perpendiculaire.
Série N°4 de mathématiques : Les notions de base de la géométrie dans le plan
I. Le Plan
1. Définition- Le plan est une surface infinie sur laquelle on trace : les points, les droites, les demi-droites, les segments, ainsi que toutes les figures géométriques.
- On dit aussi que le plan est un ensemble de points.
Le plan peut être représenté en classe par le tableau et par la feuille de notre cahier de géométrie.
II. Les figures géométriques usuelles
1. Le point.
- Le point est l’élément le plus simple de la géométrie.
- Un point est représenté le plus souvent par une croix (×).
- Un point peut porter un nom comme : A, B, C, D, .........
- Deux points distincts sont deux points différents et ne portent jamais le même nom.
- Deux points confondus sont deux points égaux et représentent le même point.
Example
Soient A et B deux points distincts. On écrit :

2 Soient A et B deux points confondus. On écrit : A = B

2. La droite.
- La droite est une ligne droite illimitée des deux côtés.
- Pour tracer une droite on utilise la règle.
- Une droite peut porter un nom comme : (D) ; (△) ; (L) ; (D′) ; (△′) ; (L′) ...
Soient (D) et (△) deux droites

On considère la figure ci-dessous telle que : (D) une droite et A et B sont deux points distincts.

- On dit que le point A appartient à la droite (D). On écrit :
- On dit aussi que la droite (D) passe par le point A.
2 - Le point B se trouve à l’extérieur de la droite (D).
Par deux points distincts passe une et une seule droite
Exemple
On considère la figure suivante telle que : A et B sont deux points distincts
On remarque que par les points A et B ne passe qu’une seule droite, ette droite porte le nom (AB) ou (BA).
Propriété 2:
Par un point passent une infinité de droites
Example
On considère la figure suivante telle que : A est un point
- On dit que le point B n’appartient pas à la droite (D). On écrit :
- On dit aussi que la droite (D) ne passe pas par le point B.
b. Propriétés
Propriété 1 :Par deux points distincts passe une et une seule droite
Exemple
On considère la figure suivante telle que : A et B sont deux points distincts

Propriété 2:
Par un point passent une infinité de droites
Example
On considère la figure suivante telle que : A est un point

c. Points alignés.
DéfinitionLes points alignés sont des points qui appartiennent à une même droite
Exemple et contre exemple
On considère les figures ci-contre

- A, B et C sont des points alignés.
- E, F et G ne sont pas des points alignés
d. Positions de deux droites.
d.1. Droites sécantes.Définition
Deux droites sécantes sont deux droites qui n’ont qu’un Seul point commun.
Example
On considère la figure ci-contre :

Remarque
- On appelle A le point d’intersection des deux droites (D) et (Δ).
- Deux droites sécantes sont distinctes.
d.2. Droites confondues.
DéfinitionDeux droites confondues sont deux droites qui ont plus d’un point commun.
Example
On considère la figure ci-contre :

d.3. Droites perpendiculaires.
DéfinitionDeux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui forment quatre angles droits.
Example
- On considère la figure ci-contre :


Propriété 3:
Par un point donné passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
Example
Par un point donné passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
Example

d-4:Projeté orthogonale et distance entre un point et une droite

(D) une droite et E un point à l’extérieur de (D).
La perpendiculaire à (D) passant par E coupe (D) en H.
Deux droites parallèles sont deux droites non sécantes ou confondues.
Example
On considère la figure ci-contre :
La perpendiculaire à (D) passant par E coupe (D) en H.
- H est appelé : projeté orthogonale de E sur (D).
- EH est appelée : distance entre E et (D).
d.4. Droites parallèles.
DéfinitionDeux droites parallèles sont deux droites non sécantes ou confondues.
Example
On considère la figure ci-contre :


Propriété 5:
Par un point donné passe une seule droite parallèle à une droite donnée.
Example

Par le point M passe une seule droite parallèle à la droite (D)
Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante à l’une est sécante à l’autre.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :
e. Propriétés de trois droites.
Propriété 6:Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante à l’une est sécante à l’autre.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

Propriété 7:
Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
Lire Aussi
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

Propriété 8:
Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

Propriété 9:
Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

3. Demi-droite
a. DéfinitionLa demi-droite est une partie d’une droite limitée d’un côté par un point appelé origine de la demi-droite et illimité de l’autre côté.
b. Exemple
On considère la figure ci-contre :

Remarque
La droite (AB) s’appelle le support de la demi-droite [AB).
c. Demi-droites opposées
DéfinitionDeux demi-droites opposées sont deux demi-droites qui ont :
- Même origine.
- Même support.
- Un seul point commun qui est l’origine.
On considère la figure suivante :

4. Segment
a. DéfinitionUn segment est une partie d’une droite limitée des deux côtés par deux points appelés extrémités du segment.
b. Exemple
On considère la figure ci-contre :

Remarquée
La droite (AB) s’appelle le support du segment [AB].
c. Longueur d’un segment
DéfinitionLa longueur d’un segment [AB] c’est la distance entre ses extrémités A et B, notée : AB.
Example
Traçons un segment [AB] tel que : AB = 5, 5cm

d. Segments égaux (Isométriques) :
DéfinitionDeux segments égaux (isométriques) sont deux segments de même longueur.
Example :
On considère la figure ci-contre telle que :

- AB = 6cm et EF = 6cm.
- On dit que [AB] et [EF] sont deux segments égaux (isométriques). On écrit : AB = EF.
e. Milieu d’un segment
DéfinitionLe milieu d’un segment est le point qui appartient au segment et équidistant à ses extrémités.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :


Propriété ((Direct))
Si un point est le milieu d’un segment [AB], alors :

Soit [EF] un segment et G un point tel que : EF = 3, 5cm et F le milieu de [EG].
1 Tracer la figure.
2 Calculer en justifiant la réponse : FG puis EG.
Solution :
1 La figure.

On sait que F est le milieu du segment [EG].
Donc : EF = FG. Et puisque EF = 3, 5cm ; alors : FG = 3, 5cm.
b- Calculons EG:
Puisque F est le milieu du segment [EG]; alors : EG = 2×EF. Donc : EG = 2×3, 5
D’où : EG = 7cm.
Propriété ((Réciproque))
Si [AB] est un segment et M un point tels que :

Exercice d'application
Soit (C) un cercle de centre O, de rayon r et de diamètre [AB].
1 Tracer la figure.
2 Montrer que O est le milieu du segment [AB].
Solution :
1- La figure:

On sait que O est le centre du cercle (C) de rayon r et de diamètre [AB].
Donc :

D’où : O est le milieu du segment [AB].
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