Cours N°4 : Les notions de base de la géométrie dans le plan

Cours N°4 : Les notions de base de la géométrie dans le plan de 1er Année collège Parcours International (1APIC)

Contenu de ce chapitre : Le plan et sont définition, Les figures géométriques usuelles (le point, la droite, la demi-droite, le segment), milieu d’un segment et comment trace se milieu, droites parallèles et commente trace cette droites parallèles, Droites perpendiculaires et commente trace cette droite perpendiculaire. 

Lire Aussi
Série N°4 de mathématiques : Les notions de base de la géométrie dans le plan

I. Le Plan

1. Définition

1. Le plan est une surface infinie sur laquelle on trace : les points, les droites, les demi-droites, les segments, ainsi que toutes les figures géométriques.
2. On dit aussi que le plan est un ensemble de points.

2. Représentation
Le plan peut être représenté en classe par le tableau et par la feuille de notre cahier de géométrie.

II. Les figures géométriques usuelles

1. Le point.

1. Le point est l’élément le plus simple de la géométrie.
2. Un point est représenté le plus souvent par une croix (×).
3. Un point peut porter un nom comme : A, B, C, D, .........
4. Deux points distincts sont deux points différents et ne portent jamais le même nom.
5. Deux points confondus sont deux points égaux et représentent le même point. 

Example

Soient A et B deux points distincts. On écrit :

2 Soient A et B deux points confondus. On écrit : A = B

2. La droite.

a. Définition.

1. La droite est une ligne droite illimitée des deux côtés.
2. Pour tracer une droite on utilise la règle.
3. Une droite peut porter un nom comme : (D) ; (△) ; (L) ; (D′) ; (△′) ; (L′) ...

Example
Soient (D) et (△) deux droites

Vocabulaires :
On considère la figure ci-dessous telle que : (D) une droite et A et B sont deux points distincts.

1- Le point A se trouve sur la droite (D).

• On dit que le point A appartient à la droite (D). On écrit :
• On dit aussi que la droite (D) passe par le point A.

2 - Le point B se trouve à l’extérieur de la droite (D).

• On dit que le point B n’appartient pas à la droite (D). On écrit :
• On dit aussi que la droite (D) ne passe pas par le point B.

b. Propriétés

Propriété 1 :
Par deux points distincts passe une et une seule droite
Exemple
On considère la figure suivante telle que : A et B sont deux points distincts

On remarque que par les points A et B ne passe qu’une seule droite, ette droite porte le nom (AB) ou (BA).
Propriété 2:
Par un point passent une infinité de droites
Example
On considère la figure suivante telle que : A est un point

On remarque que par le point A passent une infinité de droites (Plusieurs droites).

c. Points alignés.

Définition
Les points alignés sont des points qui appartiennent à une même droite
Exemple et contre exemple
On considère les figures ci-contre

1. A, B et C sont des points alignés.
2. E, F et G ne sont pas des points alignés

d. Positions de deux droites.

d.1. Droites sécantes.
Définition
Deux droites sécantes sont deux droites qui n’ont qu’un Seul point commun.
Example
On considère la figure ci-contre :

On dit que (D) et (△) sont deux droites sécantes en A.
Remarque

• On appelle A le point d’intersection des deux droites (D) et (Δ).
• Deux droites sécantes sont distinctes.

d.2. Droites confondues.

Définition
Deux droites confondues sont deux droites qui ont plus d’un point commun.
Example
On considère la figure ci-contre : 

On dit que (D) et (△) sont deux droites confondues.  On écrit : (D) = (△) ou (△) = (D)

d.3. Droites perpendiculaires.

Définition
Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui forment quatre angles droits.
Example
- On considère la figure ci-contre : 

On dit que (D) et (Δ) sont deux droites perpendiculaires. On écrit :

Propriété 3: 
Par un point donné passe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
Example

Par le point M passe une seule droite perpendiculaire à la droite (D)

d-4:Projeté orthogonale et distance entre un point et une droite

On considère la figure ci-dessous telle que : 

(D) une droite et E un point à l’extérieur de (D).
La perpendiculaire à (D) passant par E coupe (D) en H.

1. H est appelé : projeté orthogonale de E sur (D).
2. EH est appelée : distance entre E et (D).

d.4. Droites parallèles.

Définition
Deux droites parallèles sont deux droites non sécantes ou confondues.
Example
On considère la figure ci-contre :

On dit que (D) et (△) sont deux droites parallèles. On écrit :
Propriété 5: 
Par un point donné passe une seule droite parallèle à une droite donnée.
Example

Par le point M passe une seule droite parallèle à la droite (D)

e. Propriétés de trois droites.

Propriété 6: 
Si deux droites sont parallèles, alors toute sécante à l’une est sécante à l’autre.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

(D) parallèles (Δ) et (L) la sécante à (D). On remarque que (L) est sécante à (Δ).
Propriété 7: 
Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

(D) parallèles (Δ) et (L) la parallèle à (D). On remarque que (L) est parallèle à (Δ).
Propriété 8: 
Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

(D) parallèles (Δ) et (L) la perpendiculaire à (D). On remarque que (L) est perpendiculaire à (Δ)
Propriété 9:
Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

(D) perpendiculaire (Δ) et (L) la perpendiculaire à (D). On remarque que (L) est parallèle à (Δ).

3. Demi-droite

a. Définition
La demi-droite est une partie d’une droite limitée d’un côté par un point appelé origine de la demi-droite et illimité de l’autre côté.
b. Exemple
On considère la figure ci-contre :

Cette figure représente une demi-droite d’origine A et qui passe par B. On note : [AB)
Remarque
La droite (AB) s’appelle le support de la demi-droite [AB).

c. Demi-droites opposées

Définition
Deux demi-droites opposées sont deux demi-droites qui ont :

1. Même origine.
2. Même support.
3. Un seul point commun qui est l’origine.

Example
On considère la figure suivante :

On dit que [AB) et [AC) sont deux demi-droites opposées.

4. Segment

a. Définition
Un segment est une partie d’une droite limitée des deux côtés par deux points appelés extrémités du segment.
b. Exemple
On considère la figure ci-contre :

Cette figure représente un segment d’extrémités A et B, noté : [AB]
Remarquée
La droite (AB) s’appelle le support du segment [AB].

c. Longueur d’un segment

Définition
La longueur d’un segment [AB] c’est la distance entre ses extrémités A et B, notée : AB.
Example
Traçons un segment [AB] tel que : AB = 5, 5cm

d. Segments égaux (Isométriques) :

Définition
Deux segments égaux (isométriques) sont deux segments de même longueur.
Example :
On considère la figure ci-contre telle que :

• AB = 6cm et EF = 6cm.
• On dit que [AB] et [EF] sont deux segments égaux (isométriques).  On écrit : AB = EF.

e. Milieu d’un segment

Définition
Le milieu d’un segment est le point qui appartient au segment et équidistant à ses extrémités.
Example
On considère la figure ci-contre telle que :

On dit que E est le milieu du segment [AB].
Propriété ((Direct))
Si un point est le milieu d’un segment [AB], alors :

Exercice d'application
Soit [EF] un segment et G un point tel que : EF = 3, 5cm et F le milieu de [EG].
1 Tracer la figure.
2 Calculer en justifiant la réponse : FG puis EG.
Solution :
1 La figure.

2)- a- Calculons FG :
On sait que F est le milieu du segment [EG].
Donc : EF = FG. Et puisque EF = 3, 5cm ; alors : FG = 3, 5cm.
b- Calculons EG:
Puisque F est le milieu du segment [EG]; alors : EG = 2×EF. Donc : EG = 2×3, 5
D’où : EG = 7cm.
Propriété ((Réciproque))
Si [AB] est un segment et M un point tels que :, alors M est le milieu du segment [AB]
Exercice d'application 
Soit (C) un cercle de centre O, de rayon r et de diamètre [AB].
1 Tracer la figure.
2 Montrer que O est le milieu du segment [AB].
Solution :
1- La figure:

2 Montrons que O est le milieu du segment [AB]:
On sait que O est le centre du cercle (C) de rayon r et de diamètre [AB].
Donc :

D’où : O est le milieu du segment [AB].