Analyse didactique du programme des mathématiques en 2ème année du collège (1er partie)

Cette partie fournit à l’enseignant des repères didactiques quant aux contenus mathématiques traités en deuxième année du collège, les principaux objectifs poursuivis et des indications sur le traitement de ces contenus pour atteindre ces objectifs. Cette analyse est structurée par domaine et par leçons.


Mais de prime abord, précisons que, l’enseignant doit prendre conscience du fait que, de façon transversale, les mathématiques sont un puissant outil et un langage universel permettant de décrire
et de modéliser les phénomènes de la nature mais elles s’en distinguent aussi car elles forment une discipline intellectuelle autonome, possédant son identité.

Le rôle de la preuve, établie par le raisonnement, est essentiel et l’on ne saurait se limiter à vérifier sur des exemples la vérité des faits mathématiques. L’enseignement des mathématiques conduit à goûter le plaisir de découvrir par soi-même cette vérité, établie rationnellement et non sur un argument d’autorité, et à la respecter.

Faire des mathématiques, c’est se les approprier par l’imagination, la recherche, le tâtonnement et la résolution de problèmes, dans la rigueur de la logique et le plaisir de la découverte.

Les programmes officiels précisent que l’enseignement des mathématiques au collège vise à développer chez les élèves des compétences transversales et des attitudes, en plus des compétences disciplinaires.

•  La résolution de problèmes : résoudre des problèmes lui permettant d’appliquer les nouvelles
• notions mathématiques et d’établir des liens entre elles;
• La communication : communiquer mathématiquement de façon appropriée; – Le raisonnement : raisonner et justifier son raisonnement;
• Les liens : créer des liens entre les idées et les concepts mathématiques, la vie quotidienne et d’autres disciplines;
• L’estimation et le calcul mental : utiliser au besoin l’estimation et le calcul mental;
• La technologie : choisir et utiliser l’outil technologique approprié à la résolution de problèmes.
• Des attitudes positives vis-à-vis des mathématiques qui génèrent en l’apprenant la capacité de faire des mathématiques et lui prennent conscience de l’importance des mathématiques dans le développement personnel et social, et ce à travers ;
• Le développement de la confiance en soi dans le domaine des mathématiques et le développement d’attitudes positives envers cette discipline ;
• L’appréciation des aspects artistiques dans les mathématiques (les patterns, la symétrie, le pavage) ;
• L’appréciation du rôle des mathématiques dans le progrès scientifique et social.

L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que
le goût du raisonnement. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des notions étudiées. Les attitudes visées à travers l’apprentissage des
mathématiques sont essentiellement :

• la rigueur et la précision dans les tracés, dans les mesures, dans les calculs ;
• le goût du raisonnement ;
• le réflexe de contrôler la vraisemblance des résultats ;
• la volonté de justesse dans l’expression écrite et orale ;
• l’ouverture à la communication, au dialogue, au débat ;
• l’envie de prendre des initiatives, d’anticiper ;
• la curiosité et la créativité ;
•  la motivation et la détermination dans la réalisation d’objectifs.

Deuxième année du collège :une marche vers les mathématiques déductives.

La deuxième année du collège a constitué une étape décisive dans le parcours scolaire des élèves, tant du point de vue de l’environnement d’apprentissage (pluralité des disciplines et des enseignants…) que du niveau des savoirs étudiés. En deuxième année la marche vers des mathématiques où prédomine la démarche algébrique, le raisonnement déductif, la géométrie théorique (vs expérimentale) est plus marquée.

Dès lors, les élèves doivent prendre conscience du fait que résoudre un problème ne revient pas à trouver, tout de suite, les calculs à effectuer pour répondre à la question posée. Une élaboration est, en général, nécessaire, faite d’étapes ou d’essais plus ou moins organisés. Un même problème, suivant le moment où on le propose, suivant les connaissances des élèves à qui on le destine et suivant la gestion qui en est faite, peut être résolu par élaboration de procédures personnelles ou par reconnaissance et utilisation d’une procédure experte appropriée. Dans certains cas, la résolution des problèmes est organisée par l’enseignant pour, à partir des solutions personnelles élaborées par les élèves, déboucher sur une nouvelle connaissance (notion, procédure).

Le programme de deuxième année reprend, pour les consolider, des notions du domaine des nombres étudiées en première année, comme les nombres décimaux, les fractions et les nombres relatifs, les équations. De nouvelles notions sont abordées : dans le domaine des nombres, les nombres rationnels ; en géométrie plane la symétrie axiale, les vecteurs et la translation ; et en géométrie dans l’espace la pyramide et le cône de révolution.

Dans ce qui suit nous présentons une analyse fine des contenus traités en deuxième année du collège.

1. NOMBRES ET CALCUL

Les nombres sont au début et au coeur de l’activité mathématique. L’acquisition des principes de base de la numération, l’apprentissage des opérations et de leur sens, leur mobilisation pour des mesures et pour la résolution de problèmes s’est opérée à l’école primaire. Elle est poursuivie au collège avec des degrés croissants de complexité:

nombre entiers naturels, nombres décimaux, fractions, nombres relatifs. L’apprentissage des techniques opératoires s’enrichit par des apprentissages de nature algébrique (calcul littéral, développement et factorisation, équations…).

Les notions relatives aux nombres et aux opérations doivent être introduites et mises en fonctionnement à travers des problèmes associant à une situation donnée une activité numérique. Ce qui permet de renforcer le sens des opérations et des diverses écritures numériques et littérales. Ils sont principalement issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. Il convient de ne pas multiplier les activités purement techniques. Tous les travaux numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, à la main ou instrumenté.
La résolution de problèmes a pour objectifs :

1. d’entretenir et développer la pratique du calcul mental, du calcul à la main et l’utilisation raisonnée des calculatrices ;
2. d’assurer la maîtrise des calculs d’expressions numériques sur les nombres décimaux positifs et prévoir l’ordre de grandeur d’un résultat;
3. d’initier aux nombres relatifs et aux calculs sur les nombres en écriture fractionnaire ; de familiariser les élèves aux raisonnements conduisant à des expressions littérales ;
4. d’apprendre à choisir et interpréter l’écriture appropriée d’un nombre ou d’une expression littérale suivant la situation,
5. d’apprendre à effectuer des transformations simples d’écriture ;
6. d’initier à la notion d’équation.

les leçons concernant le domaine «Nombres et calcul», programmés en deuxième année du collège sont les suivantes.

2. DOMAINE DE LA GEOMETRIE

Au début du primaire, l’élève a travaillé sur une géométrie de la perception, partant de l’espace ambiant pour décrire et reproduire des figures planes usuelles, et contrôler leurs propriétés par les sens. Dans les dernières années de ce cycle, l’élève s’est progressivement orienté vers une géométrie où les propriétés des objets sont contrôlées par le recours à des instruments, puis par l’explicitation de ces propriétés. Il a appris à nommer, comparer, reconnaître, décrire, des figures simples ou d’autres plus complexes, telles que : triangles et triangles particuliers (rectangle, isocèle, équilatéral), quadrilatères et quadrilatères particuliers (carré, rectangle, losange), cercle. Il s’est
entraîné à reproduire, représenter, construire des figures simples et des configurations planes plus élaborées, à réaliser ou à rédiger un programme de construction. Il a identifié des relations entre
objets géométriques et des propriétés de ces objets en mettant en place un vocabulaire adéquat (polygone, côté, sommet, angle, segment, cercle, rayon, diamètre, milieu, médiatrice, hauteur,
etc.). L’élève a appris à effectuer des tracés et des constructions correspondant à certaines relations (perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs ou de mesures d’angles, figures symétriques
par rapport à un axe de symétrie, symétriques d’une droite, d’un segment, d’un point, médiatrice d’un segment, agrandissement ou réduction). Pour ces constructions, il a utilisé des instruments
usuels de tracé (règle graduée, équerre, compas), des supports variés (papier uni, quadrillé ou pointé, calque, gabarits d’angles, bandes de papier), et s’est initié à l’usage de logiciels (géométrie
dynamique, initiation à la programmation, visualisation de cartes, de plans).

Au collège, l’élève s’appuie toujours sur une géométrie perçue par les sens et contrôlée par les instruments, mais s’oriente progressivement vers une géométrie où les propriétés des objets sont validées par le raisonnement. Il poursuit et enrichit sa connaissance des figures et configurations clés (triangles, quadrilatères, cercles), et de leurs propriétés géométriques et métriques.

L’élève entretient sa pratique des problèmes de construction à l’aide des instruments de tracé. Les frises, rosaces et pavages sont un terrain fertile pour utiliser ces outils, en liaison avec les transformations de figures. Le repérage sur la droite est introduit en liaison avec les nombres relatifs. Les tracés à la main levée ont toute leur importance, que ce soit pour chercher des conditions nécessaires dans les problèmes de construction, ou pour conduire des raisonnements. Le repérage dans le plan à l’aide des coordonnées cartésiennes est relié aux représentations graphiques (organisation de données, proportionnalité).

Le vocabulaire lié aux objets et notions géométriques (médiatrice, hauteur, inégalité triangulaire relève de l’utilisation d’un langage mathématique adapté. Le codage des figures est lui-même une
autre forme de langage mathématique.

L’écriture d’un protocole est une méthode efficace pour comprendre ou réaliser une construction. La démonstration est perçue et utilisée comme une démarche mathématique permettant de prouver un énoncé ou un résultat général. La modélisation en géométrie plane est une façon de représenter le monde.
La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au primaire est poursuivie et enrichie.

Du primaire au collège, le contrôle des propriétés géométriques passe de la perception au dessin, puis à une géométrie plus abstraite, contrôlée par le raisonnement, qu’il soit formalisé ou non par une démonstration écrite.

Pour passer de la géométrie perçue à la géométrie abstraite, le changement de paradigme doit être motivé par des activités qui en montrent la nécessité. Par exemple, le recours à une propriété caractéristique peut être motivé par une figure codée, un programme de construction téléphoné, le jeu du portrait, … ; l’emploi d’une argumentation raisonnée peut l’être en réponse à une question du type « le triangle est-il à peu près rectangle, ou exactement ? », par un raisonnement à partir d’une figure à main levée ; etc.