Chapter 8: Les nombres relatifs: Addition et soustraction

Le cour mathématique pour la première année du collège sur les nombres décimaux relatifs : Présentation - Comparaison et Ordre

Objectifs
Connaître et utiliser Les nombres relatifs.
Calculer la distance entre deux points Sur une droit graduée
Utiliser la notion d’opposé
Comparer deux nombres relatifs.

Prérequis
Les opérations sur les nombres décimaux positifs.
La comparaison des nombres décimaux positifs.
La géométrie(La droite – L’unité - La distance)

I. Addition deux nombres relatifs

1. Somme de deux nombres relatifs
Règle 1

Pour calculer la somme de deux nombres relatifs de même signe:
• On garde le même signe.
• On additionne les distances des deux nombres à zéro.

Exemples

Les deux nombres sont positifs : 3,4 +4,5 = 7,9
Les deux nombres sont négatifs ( -3,4) +(-7,2) = -10,6

Règle 2

Pour calculer la somme de deux nombres relatifs de signes contraires:

• On garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

• On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.

Exemples

+8,5 + (-3) = 5,5
Distance à zéro : 8,5 > 3 , donc la somme
a le signe de 8,5 : elle est positive.
La somme a pour distance à zéro : 8,5 - 3

\[ - {\bf{25}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - {\bf{11}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - \left( {{\bf{25}}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\bf{11}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - {\bf{36}}\]\[{\bf{12}},{\rm{ }}{\bf{03}}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\bf{0}},{\rm{ }}{\bf{5}}{\rm{ }} = {\rm{ }}{\bf{12}},{\rm{ }}{\bf{53}}\]\[ - {\bf{15}}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\bf{11}}{\rm{ }} = {\rm{ }} - \left( {{\bf{15}}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\bf{11}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - {\bf{4}}\]\[ - {\bf{37}},{\rm{ }}{\bf{5}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - {\bf{20}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - \left( {{\bf{37}},{\rm{ }}{\bf{5}}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\bf{20}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - {\bf{57}},{\rm{ }}{\bf{5}}\]\[{\bf{15}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - {\bf{18}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - \left( {{\bf{18}}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\bf{15}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - {\bf{3}}\]\[{\bf{22}}{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - {\bf{7}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }} + \left( {{\bf{22}}{\rm{ }} - {\rm{ }}{\bf{7}}} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\bf{15}}\]

Remarques

• La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro.
• Autrement dit :\[\left( { + a} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - a} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}\left( { - a} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { + a} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

Exemples

• −25 + (+25) = 0

• 12 + (−12) = 0

2. Somme de plusieurs nombres relatifs

Règle 3

Pour calculer la somme de plusieurs nombres relatifs, on peut déplacer et regrouper les termes dans

l’ordre que l’on veut.

Exemples

• 13 + (−17) + (−15) + 8 = 13 + 8 + (−17) + (−15) = 21 + (−32) = −11

II. Soustraction deux nobres relatifs

Règle 4

• Pour effectuer la soustraction de deux nombres relatifs, on additionne le premier nombre avec

l’opposé du deuxième nombre.

• Autrement dit : a − b = a + (−b), avec (−b) est l’opposé de b.

Exemples
(-5) - ( +20 )=(-5)+(-20)=-25              soustraire (+20) , c’est ajouter (-20)
(-3) -(-18) = (-3) +(+18) = +15           soustraire (-18), c’est ajouter (+18)

Remarque

Soit a et b deux nombres relatifs, on a : −a + b = b − a

Exemples

• 25 − 29 = 25 + (−29) = −4

• 15, 23 − (−11) = 15, 23 + 11 = 26, 23

• −47, 5 − 20 = −47, 5 + (−20) = −67, 5

• (−12) − (−27, 5) = (−12) + 27, 5 = 15, 5

III. Calcul d’une expression

Règle 5

Pour calculer une expression où ne figurent que des additions et soustractions, on commence par n’ écrire que des additions

Exemple

\[{\rm{A  =   - 6  - 7; 5  +  9  -  2; 5  +  6}}\]\[{\rm{A  =   - 6  +  ( - 7; 5)  +  9  +  ( - 2; 5)  +  6}}\]\[{\rm{A  =   - 6  +  6  +  ( - 7; 5)  +  ( - 2; 5)  +  9}}\]\[{\rm{A  =   - 10  +  9}}\]\[{\rm{A  =   - 1}}\]

a/- Distance de deux points sur une droite graduée

Règle 6

Sur une droite graduée, la distance de deux points d’abscisse données est égale à la différence entre l’abscisse la plus grande et l’abscisse la plus petite

Exemple

Comme 6 > 3,5, la distance AB est égale à la distance de l’abscisse du point A et l’abscisse du point B
Donc AB= BA =6 - 3,5 = 2,5
De même BC= CB = 3,5 - (-3) =3,5 + (+3) = +6,5
et DC = CD =-3 - (-7) =-3 + ( +7) = +4

IV. Suite d’opérations d’addition et de soustraction

Règle 17

Soit a et b deux nombres relatifs, on a : 

−(a + b) = −a − b ; −(a − b) = −a + b

Règle 8

Soient a, b, c et d des nombres relatifs, on a : 

a − b − c + d = a + (−b) + (−c) + d

Remarques

Dans une suite d’opérations d’addition et de soustraction, on peut regrouper les termes positifs à

part et les termes négatifs d’autre part.

Exemples

• A = 2, 5−11+3−2, 5+7−3+4, 5+1−6 

       = 2,5−2,5+3−3+7+4, 5+1−11−6 

       = 12, 5−17 = −4, 5

Exercices d’application

Exercice 1 

donner le signe des expressions suivantes :
(-42) +(-36) et (+2,8) + (-2,8) et (+15) +(-50)
(+34,2) +( -15,7) et 18,54 +(-36,76) et (+3,7) - (+3,7)

Exercice 2. 

compléter chacune des phrases.
La somme de deux ....est égale à zéro
La différence de deux ....est égale à zéro

Exercice 3.
Recopier et compléter le tableau

Exercice 4. 

Calculer les expressions algébriques
1) (-46) - (-25) - (+7)
2) (-4,5) - (-11,2) - (+3)
3) 1,8 - (-2,7) - (-2,6) - (-2,6)
4) (-1 +2) - (-3 +4) - (-5 +6 )

V. Multiplication et division de nombres relatifs